Classe de seconde : déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

Cet article est la suite de Qu’est-ce qu’une fonction ?

Qu’est-ce-que l’ensemble de définition ?

Pour comprendre ce qu’est l’ensemble de définition (ou domaine de définition), il faut déjà avoir bien compris ce qu’est une fonction. Dans le précédent article, nous avons expliqué qu’une fonction est un procédé qui associe un nombre x à un autre nombre noté f(x) :
mimetex

Et l’ensemble de définition dans tout ça ? C’est l’ensemble des nombres de départ : c’est l’ensemble des nombres x tels que leur image f(x) existe. On peut le noter Df.

Cet ensemble peut être simplement donné par l’énoncé de l’exercice. La phrase qui l’annonce est « la fonction f est définie sur …». Par exemple la fonction f est définie sur [0;+∞[ : ainsi les nombres x appartenant à l’intervalle [0;+∞[ pourront avoir une image par f. Les autres nombres ne pourront pas en avoir.

Mais parfois, l’énoncé demande à l’élève de déterminer lui-même l’ensemble de définition, soit à partir de l’expression de f(x), soit à partir de la représentation graphique de f. Voyons ces 2 méthodes distinctes.

Déterminer l’ensemble de définition à partir de l’expression de f(x)

Si on donne l’expression d’une fonction f, par exemple f(x)=x²+3x, l’ensemble de définition a priori sera l’ensemble de tous les réels de -∞ jusqu’à +∞. On pourra alors noter Df=ensR.

Pourquoi n’en serait-il pas toujours ainsi ? Tout simplement parce que certaines opérations ne sont pas autorisées. (On dit qu’elles ne sont pas définies). Pour vous en rendre compte, vous pouvez essayer de taper certaines opérations, 1:0 ou √(-3) : la calculatrice renverra un message d’erreur.

En seconde, il faut connaître 2 opérations interdites :

  • diviser par zéro
  • racine carrée d’un nombre négatif.

1er exemple :

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f pour
fonction1

 

f(x) existe si et seulement si :
2x-4≠0
2x≠4
x≠2

Tous les nombres réels sauf 2 pourront donc avoir une image. On note :

Df= ensR-{2} ou Df=ensR \{2}

ou encore Df=]-∞;2[∪]2;+∞[

2ème exemple :

Quel est l’ensemble de définition de la fonction g pour
fonction2

 

g(x) existe si et seulement si :
8-2x≥0
-2x≥-8
x≤4

Tous les nombres inférieurs à 4 pourront avoir une image. On note :

Dg=]-∞;4]

Ci-dessous une vidéo avec deux autres exemples pour trouver l’ensemble de définition avec deux autres expressions algébriques :

Déterminer l’ensemble de définition à partir de la courbe représentative de f

Je rappelle ce que j’avais expliqué dans le précédent article : la courbe représentative de f est l’ensemble des points donc les coordonnées sont ( x ; f(x) ).

Si l’on veut trouver l’ensemble de définition, autrement dit l’ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l’ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.

Voici un exemple illustré :

Ensemble de fonction

On lit les abscisses des points de la courbe représentative de f. Ici nous avons :
Df=[-4;5]

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