Classe de seconde : déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

Cet article est la suite de Qu’est-ce qu’une fonction ?

Qu’est-ce-que l’ensemble de définition ?

Pour comprendre ce qu’est l’ensemble de définition (ou domaine de définition), il faut déjà avoir bien compris ce qu’est une fonction. Dans le précédent article, nous avons expliqué qu’une fonction est un procédé qui associe un nombre x à un autre nombre noté f(x) :
mimetex

Et l’ensemble de définition dans tout ça ? C’est l’ensemble des nombres de départ : c’est l’ensemble des nombres x tels que leur image f(x) existe. On peut le noter Df.

Cet ensemble peut être simplement donné par l’énoncé de l’exercice. La phrase qui l’annonce est « la fonction f est définie sur …». Par exemple la fonction f est définie sur [0;+∞[ : ainsi les nombres x appartenant à l’intervalle [0;+∞[ pourront avoir une image par f. Les autres nombres ne pourront pas en avoir.

Mais parfois, l’énoncé demande à l’élève de déterminer lui-même l’ensemble de définition, soit à partir de l’expression de f(x), soit à partir de la représentation graphique de f. Voyons ces 2 méthodes distinctes.

Déterminer l’ensemble de définition à partir de l’expression de f(x)

Si on donne l’expression d’une fonction f, par exemple f(x)=x²+3x, l’ensemble de définition a priori sera l’ensemble de tous les réels de -∞ jusqu’à +∞. On pourra alors noter Df=.

Pourquoi n’en serait-il pas toujours ainsi ? Tout simplement parce que certaines opérations ne sont pas autorisées. (On dit qu’elles ne sont pas définies). Pour vous en rendre compte, vous pouvez essayer de taper certaines opérations, 1:0 ou √(-3) : la calculatrice renverra un message d’erreur.

En seconde, il faut connaître 2 opérations interdites :

  • diviser par zéro
  • racine carrée d’un nombre négatif.

1er exemple :

Quel est l’ensemble de définition de la fonction f pour
fonction1

 

f(x) existe si et seulement si :
2x-4≠0
2x≠4
x≠2

Tous les nombres réels sauf 2 pourront donc avoir une image. On note :

Df= -{2} ou Df= \{2}

ou encore Df=]-∞;2[∪]2;+∞[

2ème exemple :

Quel est l’ensemble de définition de la fonction g pour
fonction2

 

g(x) existe si et seulement si :
8-2x≥0
-2x≥-8
x≤4

Tous les nombres inférieurs à 4 pourront avoir une image. On note :

Dg=]-∞;4]

Ci-dessous une vidéo avec deux autres exemples pour trouver l’ensemble de définition avec deux autres expressions algébriques :

Déterminer l’ensemble de définition à partir de la courbe représentative de f

Je rappelle ce que j’avais expliqué dans le précédent article : la courbe représentative de f est l’ensemble des points donc les coordonnées sont ( x ; f(x) ).

Si l’on veut trouver l’ensemble de définition, autrement dit l’ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l’ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.

Voici un exemple illustré :

Ensemble de fonction

On lit les abscisses des points de la courbe représentative de f. Ici nous avons :
Df=[-4;5]

A vos commentaires !

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Thierry
Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry
Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.

28 réflexions au sujet de « Classe de seconde : déterminer l’ensemble de définition d’une fonction »

      1. Il n’y a pas de division ni de racine carrée. L’ensemble de définition de cette expression est donc l’ensemble des réels noté R. Ou l’intervalle ]-∞;+∞[ si tu préfères.

  1. Oooh mais ça devient beaucoup plus clair maintenant ! C’en est même trop simple !

    Merci beaucoup, vous m’avez sauvé moi et mes DM la veille ! 😀

    1. Bonjour Mathieu,
      Je suppose que tu me parles du graphique. Le soucis est que je n’ai pas mis d’échelle sur l’axe des ordonnées… En supposant qu’il s’agisse d’un repère orthonormé, l’image de -4 est 1,5 ; celle de 0 environ 3,2 et celle de 4 est 1.

  2. Je veux plus d’éclaircissement sur la notion d’application.
    Il s’agit de :
    – application affine
    – application linéaire
    – application surjective
    – application bijective
    – application injective
    Merci d’avance
    Signé
    Élisée ATONDE
    Élève en classe de 2nde D

  3. Bonsoir, pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction à l’aide d’un graphique mais qui est du genre par partie (ce graphique). Comment faire ? merci.

  4. Bonjour^^ dans une fonction, peut on mettre plusieurs U ? Par exemple :
    [-7 ; -6] U [ -3 ; -2,5 ] U [ 2 ; 3,5 ] U [ 7,5 ; 8 ] ? Merci ^^

  5. Bonjour j’aimerai bien que vous me confirmiez ma réponse svp
    Il faut trouver l’ensemble de la définition.
    f(x)=1/√x

    J’ai mis que d(f)=R

    Est ce juste, merci d’avance

  6. Bonjour, j’aimerais une aide à mon exercice s’il vous plait…

    énoncé : sois f la fonction définie par f(x) = -2x² + 1
    1. Quel est son ensemble de définition D ?
    2. Quelles sont les images de -2 ? de 5 ? de 0 ? et de 2√2 ?
    3. Quels sont les antécédents éventuels de -3 ? de 0 ? et de 5 ?

    Merci, une élève de 2nde.

    1. Bonjour Mélissa,
      1. Comme l’expression de f(x) ne contient ni division, ni racine carrée, l’ensemble de définition sera l’ensemble des réels R.
      2. Dans l’expression de f(x) il suffit de remplacer x par les valeurs indiquées et de calculer les images.
      3. Pour trouver les antécédents, il faut résoudre des équations…

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