Modulo 2π et mesure principale d’un angle

Voici un cours de mathématiques pour les lycéens de 1^ère ayant choisi la spécialité mathématiques. Nous expliquons ici l’expression modulo 2π et donnons la définition de la mesure principale d’un angle orienté.

L’expression modulo 2π est liée à la périodicité des fonctions trigonométriques qui sera encore utilisée en spécialité mathématiques de terminale, pour l’étude de fonctions trigonométriques, la résolution d’équations et d’inéquations.

Une parfaite connaissance de toutes ces notions est également importante en option mathématiques expertes, pour l’utilisation des formes trigonométrique et exponentielle des nombres complexes.

Pour davantage d’entraînement sur ces notions, les élèves pourront assister avec profit à nos stages ou cours de soutien en mathématiques pour lycéens.

Modulo 2π et cercle trigonométrique : rappels essentiels

Rappelons que le cercle trigonométrique est un cercle orienté, de rayon 1, dont le centre est l’origine d’un repère orthonormé.

À partir de l’axe des abscisses de ce repère, nous mesurons des angles orientés. Par exemple, sur le cercle trigonométrique ci-dessous, est représenté en rouge un angle dont la valeur est x :Les angles orientés – contrairement aux angles géométriques – peuvent être négatifs, ils peuvent même dépasser un tour complet, c’est-à-dire être supérieurs à 2π radians (2π rad = 360°).

Périodicité

On dit alors que les fonctions trigonométriques (cosinus & sinus) sont 2π-périodiques :

• \cos(x+2\pi)=\cos x
• \sin(x+2\pi)=\sin x

Modulo 2π

La figure ci-dessous montre comment un angle x auquel on ajoute 2π ou 4π ou -2π permet de repérer toujours le même point M sur le cercle trigonométrique :

Prenons par exemple l’angle π/3 qui repère le point M sur le cercle trigonométrique :

Ce même point M sera donc repéré sur le cercle par plusieurs mesures d’angles :

• \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}
• \frac{\pi}{3} + 2 \times 2\pi = \frac{13\pi}{3}
• \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-5\pi}{3}
• \text{etc.}

Toutes ces mesures d’angles repèrent sur le cercle le même point M. Elles valent toutes : \frac{\pi}{3} + k \times 2\pi,\; k \in \mathbb{Z}. (\mathbb{Z} étant l’ensemble des nombres entiers relatifs).

\frac{\pi}{3} + k \times 2\pi,\; k \in \mathbb{Z}, étant long à écrire, on préfère donc l’écriture : \boldsymbol{\frac{\pi}{3}\,[2\pi]} qui se lit \boldsymbol{\frac{\pi}{3}} modulo 2π.

Parmi toutes les mesures possibles d’un même angle (modulo 2π), la seule mesure qui appartient à l’intervalle ]-π ; π] s’appelle la mesure principale.

La mesure principale d’un angle

Dans l’article précédent sur le cercle trigonométrique, nous avions vu comment placer les principaux angles :

• -\frac{5\pi}{6}\;\;-\frac{3\pi}{4}\;\;-\frac{2\pi}{3}\;\;-\frac{\pi}{2}\;\;-\frac{\pi}{3}\;\;-\frac{\pi}{4}\;\;-\frac{\pi}{6}
• 0\;\;\frac{\pi}{6}\;\;\frac{\pi}{4}\;\;\frac{\pi}{3}\;\;\frac{\pi}{2}\;\;\frac{2\pi}{3}\;\;\frac{3\pi}{4}\;\;\frac{5\pi}{6}\;\;\pi

Ces angles sont très importants : ce sont ceux dont il faut connaître par cœur la valeur du cosinus et du sinus. Ils appartiennent tous à l’intervalle ]-π;π].

La question à laquelle nous souhaitons répondre est la suivante : si on nous donne une mesure d’angle supérieure à π ou inférieure à -π, comment fait-on pour trouver sa mesure principale ?

Plusieurs méthodes existent. La plus rapide et efficace que j’ai rencontrée en lisant les cours des professeurs de mes élèves – pas forcément la plus académique – est celle que j’ai choisie d’expliquer aux lycéens en spécialité mathématiques.

Cette méthode est illustrée ci-dessous en deux exemples.

Exemple 1 : déterminer la mesure principale d’un angle positif

Déterminer la mesure principale de \frac{77\pi}{3}.

1. A l’aide de la calculatrice, on effectue :
   77÷3 = 25,666…
2. On cherche le nombre pair le plus proche de ce résultat, c’est-à-dire 26.
3. \frac{77\pi}{3} étant supérieur à π, on va donc retrancher 26π.
4. On effectue le calcul : \frac{77\pi}{3} - 26\pi = \frac{77\pi}{3} - \frac{78\pi}{3} = \frac{-\pi}{3}
5. La mesure principale de \frac{77\pi}{3} est donc \frac{-\pi}{3}.

On pourra finalement écrire : \boldsymbol{\frac{77\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}\,[2\pi]}.

Exemple 2 : déterminer la mesure principale d’un angle négatif

Déterminer la mesure principale de \frac{-95\pi}{6}.

1. A l’aide de la calculatrice, on effectue : 95÷6 = 15,833…
2. On cherche le nombre pair le plus proche de ce résultat, c’est-à-dire 16.
3. \frac{-95\pi}{6} étant inférieur à -π, on va donc ajouter 16π
4. On effectue le calcul : -\frac{95\pi}{6} + 16\pi = -\frac{95\pi}{6} + \frac{96\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
5. La mesure principale de \frac{-95\pi}{6} est donc \frac{\pi}{6}.

On pourra finalement écrire : \boldsymbol{-\frac{95\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\,[2\pi]}.

Modulo 2π et mesure principale : explication en vidéo

Besoin d’aide en maths pendant l’été ?

Les élèves de lycée qui souhaitent revoir la mesure principale d’un angle, ou plus généralement le cercle et les fonctions trigonométriques, peuvent également suivre nos cours particuliers de maths en ligne pendant les vacances d’été.

Ces séances individuelles permettent de reprendre, à son rythme, les notions importantes du programme de spécialité mathématiques entre la 1^ère et la terminale.

Thierry

Fondateur et professeur aux Cours Thierry, j’enseigne les mathématiques depuis 2002. D’abord comme professeur particulier, à présent j’anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.