Les collégiens apprennent à développer une expression littérale dès les classes de 4e et de 3e. Or la maîtrise du calcul littéral est une compétence essentielle pour réussir toute sa scolarité en mathématiques.
Développer consiste à utiliser la distributivité pour transformer une expression avec parenthèses en une somme de termes. Lors des multiplications, la règle des signes doit s’appliquer.
Lis attentivement ce cours constitué de vidéos, d’exemples et d’exercices interactifs pour apprendre à développer sans erreur.
Retiens d’abord ! Pour développer une expression littérale :
- On distribue : k(a+b)=ka+kb
- On applique la règle des signes
- On réduit à la fin.
Cet article offre un aperçu de la manière dont j’explique les développements aux collégiens, à qui j’ai le plaisir d’enseigner dans le cadre de nos cours hebdomadaires ou stages de vacances.
Sommaire
Comprendre le développement d’une expression
Tu as peut-être déjà utilisé la technique du développement sans le savoir, en faisant du calcul mental.
Par exemple pour calculer 52 \times 11, tu as peut-être effectué dans ta tête 52 \times 10+52.
Ou bien pour calculer 52 \times 9, peut-être as-tu fait 52 \times 10-52 ?
Formalisons davantage, par exemple pour 52 \times 11 :
52 \times 11=52 \times (10+1)=52 \times 10 + 52 \times 1 = 520+52 = 576Il ne s’agit là que d’un exemple d’utilisation du développement. En le généralisant, on obtient la formule du développement qu’il faut absolument connaître par cœur : k(a+b)=ka+kb.
Il existe une autre formule avec le signe moins : k(a-b) = ka-kb.
Mais nous recommandons de n’en apprendre qu’une seule et, en complément, d’apprendre à gérer les signes !
La formule magique du développement :
\boldsymbol{k(a+b)=ka+kb}Regarde la vidéo (4 min) qui t’explique comment utiliser cette formule :
Et entraîne-toi à distribuer
Exemple :
\begin{aligned}
3(5x+1) &= 3 \times 5x + 3 \times 1 \\
&= 15x + 3
\end{aligned}
Défi ! Distribue en une seule étape
Exemple :
- 6(5x+9)=30x+54
Développer une expression littérale sans erreur de signe
Tu connais forcément la règle des signes de la multiplication, la voici.
Règles des signes de la multiplication
- \boldsymbol{+} \text{ fois }\boldsymbol{+}= \boldsymbol{+}
- \boldsymbol{+} \text{ fois } \boldsymbol{-}= \boldsymbol{-}
- \boldsymbol{-}\text{ fois } \boldsymbol{+}= \boldsymbol{-}
- \boldsymbol{-}\text{ fois } \boldsymbol{-}= \boldsymbol{+}
Réfléchir en 2 temps (signe puis produit) pour ne pas se tromper
Pour effectuer les développements, il faut donc suivre 2 règles conjointement :
• la formule du développement : k(a+b) = ka+kb
• la règle des signes.
Je conseille donc toujours à mes élèves de réfléchir en deux temps :
- d’abord au signe
- ensuite à la multiplication.
Je te montre les 2 étapes de réflexion dans la vidéo ci-dessous (5 min) :
Entraîne-toi à développer avec les signes
Exemples :
- \begin{aligned} 3(-2x+9) &= -3\times 2x + 3\times 9 \\ &= -6x + 27 \end{aligned}
- \begin{aligned} -5(4x-7) &= -5\times 4x + 5\times 7 \\ &= -20x + 35 \end{aligned}
Défi ! Une seule étape avec les signes
Exemple :
- 4(-2x-5)=-8x-20
Développer une expression littérale avec des carrés (\boldsymbol{x^2})
\boldsymbol{x \times x = x^2}
Voici ce que cela donne lorsque les \boldsymbol{x} sont multipliés entre eux dans les développements (5 min) :
Entraîne-toi à développer avec les carrés ²
Exemple, développer :
\begin{aligned} -2x(4x-3) &= -2x \times 4x -2x \times 3 \\ &= -8x^2 + 6x \end{aligned}Défi ! Une seule étape avec les ²
Exemple :
- 3x(-5x+1)=-15x^2+3x
La double distributivité en 3ème
Par exemple, pour développer (2x-5)(4x+1), le principe reste le même, il faut multiplier des termes entre eux. Il y a 4 multiplications à effectuer, comme indiqué par les flèches rouges dans la figure ci-dessous :
Sais-tu d’abord réduire ?
Réduire comme cela :
- 3x+6x=(3+6)x=9x
- 2x-10x=(2-10)x=-8x
- -4x-2x=(-4-2)x=-6x
Je te montre comment distribuer et réduire dans la vidéo ci-dessous (8 min) :
Entraîne-toi à la double distributivité
Exemple :
\begin{aligned} (2x-5)(4x+1) &= +2x\times 4x + 2x\times 1 - 5\times 4x - 5\times 1 && \text{(étape 1 : règle des signes)} \\ &= 8x^2 + 2x - 20x - 5 && \text{(étape 2 : les multiplications)} \\ &= 8x^2 - 18x - 5 && \text{(on rassemble } 2x - 20x \text{ pour réduire)} \end{aligned}Les erreurs fréquentes de développement
Tous les calculs génèrent nombre d’erreurs inattendues ! Voudrais-tu que nous vérifiions ensemble à l’occasion d’un stage de vacances ou de préparation au brevet ce qui cloche dans tes calculs ?
En attendant, assure-toi que tu ne commets pas les deux erreurs les plus courantes :
Négliger d’appliquer tout de suite la règle des signes
Les élèves me rétorquent : « Je veux faire plus d’étapes pour éviter de me tromper.
– Non ! On se retrouve avec des expressions illisibles qui génèrent trop d’erreurs et de pertes de concentration. »
Regarde :
(2x-1)(5x-3)=2x \times 5x + 2x \times (-3)-1 \times 5x -1 \times (-3)
Franchement est-ce que ça va aider à la clarté d’écrire tous ces signes ?
Voilà comment développer sans erreur de signe :
(2x-1)(5x-3)=2x \times 5x \boldsymbol{-} 2x \times 3 \boldsymbol{-} 1 \times 5x \boldsymbol{+} 1 \times 3
Et très vite tu apprendras à développer plus rapidement :
(2x-1)(5x-3)=10x^2 \boldsymbol{-} 6x \boldsymbol{-} 5x \boldsymbol{+} 3
Attention à la réduction !
- Ne pas oublier un signe \boldsymbol{-} en route : \boldsymbol{-} 6x \boldsymbol{-} 5x \neq 6x \boldsymbol{-} 5x
- \boldsymbol{-} 6x \boldsymbol{-} 5x il s’agit d’une somme, où la règle des signes ne s’applique pas !
Ainsi : \boldsymbol{-} 6x \boldsymbol{-} 5x=-11x
Tout le développement résumé en une vidéo
Regarde la vidéo complète (20 min, chapitrée) consacrée au développement d’expressions littérales en 4e-3e :
As-tu bien compris comment développer une expression ? Si certains points sont encore flous, n’hésite pas à poser tes questions en commentaires.
Et si tu habites à Paris ou en région parisienne, tu peux venir profiter de nos cours de soutien hebdomadaires tout au long de l’année scolaire !
Fondateur et professeur aux Cours Thierry, j’enseigne les mathématiques depuis 2002. D’abord comme professeur particulier, à présent j’anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.