Cours de mathématiques : comprendre la loi binomiale

La loi binomiale était auparavant enseignée en 1ère. Elle est à présent au programme de terminale. Ce chapitre, conceptuel par excellence, nécessite peu de calculs mais beaucoup de compréhension et de rédaction. Il fait, en outre, appel à plusieurs notions vues en classe de 1ère.

Dans cet article, nous allons d’abord revoir deux concepts importants pour la loi binomiale : celui de variable aléatoire et celui de loi de probabilité. Si ces concepts vous sont déjà familiers, rendez-vous directement à l’épreuve de Bernoulli.

Enfin, notre vidéo vous propose un résumé de tout ce qui est écrit dans cette page.

La loi binomiale est souvent vue en fin d’année scolaire, et tombe régulièrement au bac. Si vous souhaitez vous entraîner sur des exercices avec la possibilité d’être corrigé et guidé, nous vous invitons à venir, par exemple, à nos stages de mathématiques lors des vacances de printemps.

Concept de variable aléatoire

Une variable aléatoire, généralement nommée par une lettre capitale X est le procédé qui associe un événement à un nombre. Cela ressemble un peu aux fonctions :

X : événement → nombre

Par exemple, tirer une boule rouge dans une urne est un événement mais pas un nombre. Mais si l’énoncé stipule qu’une boule rouge rapporte 10 points, une boule noire 20 points et une boule verte -10 points, nous avons alors affaire à une variable aléatoire qui compte le nombre de points obtenus en tirant une boule dans une urne.

Concept de loi de probabilité

Reprenons notre exemple, nous tirons au hasard une boule dans une urne qui en contient 2 rouges rapportant 10 points, 1 noire qui en rapporte 20 et 3 vertes qui enlèvent 10 points (ou rapportent -10 points).

X est la loi de probabilité qui compte le nombre de points obtenus lors du tirage.

X peut donc prendre les valeurs 10, 20 et -10.

Déterminer la loi de probabilité de X consiste à déterminer la probabilité que chacune de ses valeurs survienne. En classe de première, le résultat est donné sous forme d’un tableau :

Tableau de la loi de probabilité

Dans ce tableau les xi sont les valeurs possibles de la variable aléatoire et les pi les probabilités correspondantes.

Une épreuve de Bernoulli

Derrière ce nom impressionnant se cache une expérience aléatoire sous sa forme la plus simple : une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant 2 issues, l’une d’elle s’appelle Succès (S) et l’autre Échec (E ou S).

épreuve de Bernoulli
Le schéma ci-dessus est l’illustration d’une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est notée p.

Un schéma de Bernoulli

Lorsque l’épreuve de Bernoulli est répétée plusieurs fois de suite, de manière identique et indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli.

Le schéma de Bernoulli ci-dessous est obtenu par 3 répétitions de la même épreuve de Bernoulli :

schéma de Bernoulli

Suivons chacun des chemins proposés par ce schéma de Bernoulli. Le chemin tout en haut permet d’obtenir l’issue SSS (3 succès de suite) avec la probabilité p×p×p (il suffit de multiplier les probabilités des branches parcourues). Le chemin immédiatement en dessous nous donne l’issue SSS dont la probabilité sera p×p×(1-p).

Nous listons dans le tableau ci-dessous toutes les issues possibles et leur probabilité associée, il suffit de multiplier les branches de chaque chemin pour les retrouver :

Et la loi binomiale dans tout cela ? On y arrive peu à peu !

D’abord il nous faut une variable aléatoire. Créons la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre de Succès obtenus. Par exemple à l’issue SSS on associe la valeur X=2 (2 succès).

Complétons le tableau d’une colonne pour rajouter les valeurs de X (les xi).

A ce stade nous sommes arrivés à réaliser un tableau, dans lequel nous avons mis l’un face de l’autre les valeurs de la variable aléatoire X (les xi) et les probabilités. Nous sommes donc à présent en mesure de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Nous voyons dans le tableau ci-dessus que cette variable aléatoire peut prendre les valeurs 3, 2, 1 et 0.

X=3 n’apparaît qu’une seule fois dans le tableau donc sa probabilité est p3.

X=2 apparaît 3 fois avec la même probabilité p2(1-p) donc il suffit de multiplier ce nombre par 3 pour obtenir la probabilité que X prenne la valeur 2 : 3p2(1-p).

Ainsi nous obtenons la loi de probabilité de X ci-dessous. La notation P(X=k) représente la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k. (Attention à ne pas confondre les grands ‘P’ de P(X=k) avec le petit ‘p’ qui est la probabilité de Succès lors d’une seule épreuve de Bernoulli.)

P(X=3) = p3
P(X=2) = 3p2(1-p)
P(X=1) = 3p(1-p)2
P(X=0) = (1-p)3

Faisons l’effort de bien observer ces 4 expressions et nous remarquons cette structure :

P(X=k) = un nombre entier × pnombre de succès × (1-p)nombre d’échecs

Avez-vous remarqué cette structure ? Cela va vous aider à retenir la formule de la loi binomiale expliquée ci-dessous !

La loi binomiale

La loi binomiale est la généralisation de cette situation et de cette formule, sans avoir besoin de redessiner un schéma de Bernoulli.

En effet on peut raisonnablement dessiner un schéma de Bernoulli lorsqu’il y a 3 répétions de l’épreuve de Bernoulli. Mais cela devient vite impossible s’il y a davantage de répétitions !

Comment rédiger ?

Pour que la loi binomiale puisse s’appliquer il nous faut :

  • répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont la probabilité de Succès est p
  • une variable aléatoire X qui compte le nombre de Succès.

On conclut alors :

Donc X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Ce qui en abrégé donne : .

La formule de la loi binomiale

Reprenons la structure de l’expression que nous avions remarquée :

P(X=k) = un nombre entier × pnombre de succès × (1-p)nombre d’échecs

Et faisons le lien avec la vraie formule de la loi binomiale, à apprendre :

Le nombre se dit ‘k parmi n’. Il sert à compter le nombre de chemins ayant k succès dans un schéma de Bernoulli à n répétitions.

(Je vous fais grâce de la formule de , le plus simple est d’utiliser la fonction appropriée de la calculatrice.)

La loi binomiale sur calculatrice

Cette formule est un peu rébarbative. Alors profitons des calculatrices modernes pour calculer ! Sur les calculatrices les plus courantes :

Sur Texas Instruments Sur Casio
Dans le menu MATH>PRB la fonction Combinaison Dans le menu OPTN>PROB la fonction nCr
P(X=k) Dans le menu DISTRIB la fonction binomFdp Dans le menu STATS>DIST>BINM la fonction Bpd
P(X⩽k) Dans le menu DISTRIB la fonction binomFRép Dans le menu STATS>DIST>BINM la fonction Bcd

Difficile de vous en dire davantage, car cela dépend des modèles de calculatrice, leur ancienneté, leur langue, etc. Il faut fouiller un peu et faire des essais, chercher d’autres sources sur internet, par exemple ici.

Un exemple de loi binomiale

Énoncé

25 élèves de terminale passent leur bac avec une probabilité de succès p=0,8.

  1. Calculer la probabilité que 24 élèves exactement réussissent.
  2. Quelle est la probabilité que les 25 élèves réussissent ?
  3. Quelle est la probabilité qu’au moins un élève réussisse ?

Réponses

  1. L’épreuve de Bernoulli ‘passer son bac’ est répétée 25 fois de manière identique et indépendante. X est la variable aléatoire comptant le nombre de succès. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=25 et p=0,8.
    La probabilité que 24 élèves réussissent, d’après la formule :
    P(X=24) = × 0,824 × 0,21 ≃ 0,024
  2. Selon la même formule, ou d’après le schéma de Bernoulli :
    P(X=25) = 0,825 ≃ 0,004
  3. Nous cherchons ici : P(X⩾1).
    X⩾1 signifie X=1 ou X=2 ou X=3 ou … ou X=25.
    Nous pourrions faire une grande addition :
    P(X⩾1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=25).
    Mais nous préférons considérer l’événement contraire de X⩾1 qui est X=0.
    Ainsi : P(X⩾1) = 1 – P(X=0) = 1 – 0,225 ≃ 1

Le tout résumé en une vidéo

Tout est-il bien clair ?

Il est fortement recommandé de compléter ces connaissances en effectuant des exercices. En attendant, n’hésitez-pas à poser vos questions en commentaires ou à me contacter directement.

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Thierry
Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry
Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.

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