Cours de maths lycée : suites arithmético-géométriques

Dès la rentrée cette année, tous nos élèves de Terminale ont commencé le programme de mathématiques par les suites ! Il faut donc bien connaître les formules des suites arithmétiques et géométriques vues en première. Il faudra être également bien au point sur comment traiter les exercices de suites arithmético-géométriques.

C’est d’autant plus important qu’il s’agit d’un exercice classique qui peut tomber au baccalauréat, comme par exemple dans l’épreuve de 2009.

Les élèves ont souvent du mal à retenir cette méthode très technique : il suffit de l’apprendre par cœur car c’est toujours la même. N’attendez-pas la fin de l’année pour la connaître, venez par exemple la travailler dès le premier trimestre lors de nos prochains stages de mathématiques.

Un exercice classique : suite arithmético-géométrique

Voici un exercice très classique. Maîtriser cet exercice de base permettra d’aller plus avant vers des exercices plus compliqués.

Énoncé

(U_n) est une suite définie par son premier terme U₀=4 et par la relation de récurrence U_n+1 = 3U_n – 6 :

Et la suite auxiliaire (V_n) par :

1. 1. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer V_n puis U_n en fonction de n.
   3. Etudier la convergence de (U_n).

Résolution

1. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique.

J’ai pris l’habitude d’appeler cette méthode de résolution la méthode des « 3 substitutions » : il y a 3 substitutions à effectuer, ne vous perdez pas !

La méthode consiste à exprimer V_n+1 de manière à trouver après quelques lignes de calcul :
V_n+1 = …. = …. = V_n×q.

Alors nous pourrons affirmer que V_n est bien une suite géométrique de raison q.

Nous allons pour cela faire appel aux relations données par l’énoncé que je numérote en rouge :

V_n = U_n – 3 (1)
U_n+1 = 3U_n – 6 (2)
U_n=V_n + 3 (3) qui découle de la relation (1)

L’idée est d’avoir V_n+1 en fonction de V_n,
puis V_n+1 en fonction de U_n,
puis V_n+1 en fonction de V_n : ce sont les 3 substitutions à effectuer.

Voici les quelques lignes de calcul, avec les substitutions numérotées. Les lignes sans numéro sont simplement des lignes où l’on prend le temps de réduire les expressions :

V_n+1 = 3V_n donc (V_n) est bien une suite géométrique.

Pour le calcul de V₀ on utilise la relation (1) :
V₀ = U₀ – 3
V₀ = 4-3
V₀ = 1

Donc (V_n) est une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme V₀=1.

2. Exprimer V_n puis U_n en fonction de n.

Dès lors que l’on sait que (V_n) est une suite géométrique, on peut utiliser la formule V_n = V₀×qⁿ.

Ainsi dans le cas présent, V_n en fonction de n :

V_n = 1×3ⁿ = 3ⁿ

Puis en utilisant la relation (3) on obtient U_n en fonction de n :

U_n = V_n + 3
Finalement : U_n = 3ⁿ + 3

3. Etudier la convergence de (U_n).

On utilise pour cela une propriété vue en 1ère :

Si q>1 alors (qⁿ) diverge vers +∞.
Si -1<q<1 alors (qⁿ) converge vers 0.

Dans le cas présent,

et donc, .

Finalement, .

Le même exercice en vidéo

J’explique la résolution d’un exercice similaire dans la vidéo ci-dessous. Il s’agit des mêmes questions, avec une suite légèrement différente afin de varier les situations.

Tout est clair ? Sinon n’hésite-pas à poser tes questions !

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Thierry

Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry

Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.