La preuve par 9

Qu’est-ce-que la preuve par 9 ?

La preuve par 9 permet de vérifier un calcul mental, ou effectué à la main. Si la preuve par 9 est vérifiée, cela signifie que le résultat de l’opération est probablement exact. Par contre si la preuve par 9 n’est pas vérifiée, on peut alors être sûr que le résultat est erroné.

Cette propriété peut être utilisée pour les 4 opérations. Je me souviens avoir appris à l’école primaire à l’utiliser : cela demande du temps, tant pour son apprentissage que pour son usage. De nos jours, la preuve par 9 n’est plus enseignée à l’école primaire et est devenue davantage une curiosité qu’un moyen utile de vérifier ses calculs.

Comment fonctionne la preuve par 9 ?

Une opération entre deux nombres donne un résultat. La même opération entre les sommes des chiffres de chacun des nombres donne la somme des chiffres du résultat. Dans la vidéo, un exemple est donné sur une multiplication. Voyons un exemple sur l’addition.

Considérons par exemple la somme :

133+17=150

La somme des chiffres de 133 est 1+3+3=7.

La somme des chiffres de 17 est 1+7=8.

Effectuons la somme :

7+8=15 et 1+5=6

La somme des chiffres de 150 est : 1+5+0=6

Dans les deux cas nous avons trouvé la même somme des chiffres 6. Nous pouvons donc estimer que notre résultat est juste. Si les sommes sont différentes, nous en concluons que notre résultat initial est faux.

Note pour les initiés

Un élève de terminale S spécialité mathématiques peut démontrer à l’aide des congruences que cette preuve par 9 fonctionne pour les 4 opérations. Comme nous comptons en base 10, il faut utiliser le fait que 10 est congru à 1 modulo 9, puis démontrer qu’un nombre est toujours congru à la somme de ses chiffres modulo 9.

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Thierry
Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry
Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.

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