Cours de maths lycée : suites arithmético-géométriques

Dès la rentrée cette année, tous nos élèves de Terminale ont commencé le programme de mathématiques par les suites ! Il faut donc bien connaître les formules des suites arithmétiques et géométriques vues en première. Il faudra être également bien au point sur comment traiter les exercices de suites arithmético-géométriques.

C’est d’autant plus important qu’il s’agit d’un exercice classique qui peut tomber au baccalauréat, comme par exemple dans l’épreuve de 2009.

Les élèves ont souvent du mal à retenir cette méthode très technique : il suffit de l’apprendre par cœur car c’est toujours la même. N’attendez-pas la fin de l’année pour la connaître, venez par exemple la travailler dès le premier trimestre lors de nos prochains stages de mathématiques.

Un exercice classique : suite arithmético-géométrique

Voici un exercice très classique. Maîtriser cet exercice de base permettra d’aller plus avant vers des exercices plus compliqués.

Énoncé

(Un) est une suite définie par son premier terme U0=4 et par la relation de récurrence Un+1 = 3Un – 6 :

Et la suite auxiliaire (Vn) par :

    1. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
    3. Etudier la convergence de (Un).

Résolution

1. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique.

J’ai pris l’habitude d’appeler cette méthode de résolution la méthode des « 3 substitutions » : il y a 3 substitutions à effectuer, ne vous perdez pas !

La méthode consiste à exprimer Vn+1 de manière à trouver après quelques lignes de calcul :
Vn+1 = …. = …. = Vn×q.

Alors nous pourrons affirmer que Vn est bien une suite géométrique de raison q.

Nous allons pour cela faire appel aux relations données par l’énoncé que je numérote en rouge :

Vn = Un – 3 (1)
Un+1 = 3Un – 6 (2)
Un=Vn + 3 (3) qui découle de la relation (1)

L’idée est d’avoir Vn+1 en fonction de Vn,
puis Vn+1 en fonction de Un,
puis Vn+1 en fonction de Vn : ce sont les 3 substitutions à effectuer.

Voici les quelques lignes de calcul, avec les substitutions numérotées. Les lignes sans numéro sont simplement des lignes où l’on prend le temps de réduire les expressions :

suite arithmético-géométrique et suite auxiliaire

Vn+1 = 3Vn donc (Vn) est bien une suite géométrique.

Pour le calcul de V0 on utilise la relation (1) :
V0 = U0 – 3
V0 = 4-3
V0 = 1

Donc (Vn) est une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme V0=1.

2. Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

Dès lors que l’on sait que (Vn) est une suite géométrique, on peut utiliser la formule Vn = V0×qn.

Ainsi dans le cas présent, Vn en fonction de n :

Vn = 1×3n = 3n

Puis en utilisant la relation (3) on obtient Un en fonction de n :

Un = Vn + 3
Finalement : Un = 3n + 3

3. Etudier la convergence de (Un).

On utilise pour cela une propriété vue en 1ère :

Si q>1 alors (qn) diverge vers +∞.
Si -1<q<1 alors (qn) converge vers 0.

Dans le cas présent,

et donc, .

Finalement, .

Le même exercice en vidéo

J’explique la résolution d’un exercice similaire dans la vidéo ci-dessous. Il s’agit des mêmes questions, avec une suite légèrement différente afin de varier les situations.

Tout est clair ? Sinon n’hésite-pas à poser tes questions !

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Thierry
Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry
Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.

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