Terminale spécialité maths : le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est l’une des principales difficultés du programme de terminale que nous abordons régulièrement pendant nos stages de mathématiques. Il s’agit d’une démonstration en trois étapes dont la rédaction doit bien refléter la compréhension de la démonstration. Une mauvaise compréhension du raisonnement par récurrence entraînera une rédaction incohérente qui ne pourra pas rapporter de points au bac.
Nous allons donc nous attacher avant tout à bien comprendre pourquoi le raisonnement par récurrence fonctionne : nous espérons alors le rendre facile à utiliser.
Comprendre le raisonnement par récurrence
Commençons par un exemple, en forme de petite histoire…
Au siècle dernier a été découverte la maladie d’Acerbi-Rashed. Peu nous importe les symptômes de cette maladie incurable et dont on ne sait même pas comment un individu l’attrape.
On put toutefois découvrir quelques années plus tard, que si une personne avait contracté cette maladie, alors il la transmettait toujours à ses enfants.
Or Acerbi lui-même (génération 0) contracta un jour cette maladie ! Il la transmis donc à ses enfants (génération 1), qui eux-même la transmirent à leurs enfants (génération 2), etc.
Que peut-on en déduire ? De génération en génération, tous les descendants d’Acerbi jusqu’à nos jours furent contaminés par la maladie d’Acerbi-Rashed.
Rassurez-vous cette maladie est purement fictive et ne sert qu’à étayer notre explication. Quelles sont les étapes de raisonnement à suivre si l’on nous demande de prouver la propriété P(n) : montrer que pour tout nombre entier n positif, un descendant d’Acerbi de génération n, est porteur de la maladie ?
- Le fait que Acerbi ait attrapé la maladie s’appelle l’initialisation : la propriété P(n) est vraie au rang 0 ou « P(0) est vraie ».
- Le fait qu’on découvre que si un individu contracte la maladie alors il la transmet à ses enfants s’appelle l’hérédité. Si pour un rang k, la propriété P(k) est supposée vraie, alors nous devons démontrer que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que P(k+1) est vraie.
- Nous en avons donc déduit que tous les descendants d’Acerbi étaient porteurs de la maladie, c’est la conclusion : quel que soit le nombre entier positif n, la propriété P(n) est vraie.
Conseils de rédaction & erreurs courantes
Voici l’énoncé auquel nous nous proposons de répondre pour illustrer nos explications :
Démontrer que pour tout entier naturel n,
est un multiple de 2.
Il s’agit d’adopter une rédaction concise mais claire, montrant au correcteur que l’on a compris le raisonnement par récurrence. Si l’on décide de nommer P(n) la propriété à démontrer, la première chose à faire est de le préciser en une phrase :
On appellera P(n) la propriété :
Initialisation
L’initialisation contient en général un ou deux calculs. Elle peut donc être rédigée en 2 lignes, puis conclue par la mention « donc P(0) est vraie » ou bien « la propriété est vraie au rang 0 ». Ne pas écrire par exemple « P(0)=1 » car cela ne veut rien dire. Jouer le jeu de la rédaction en détaillant des étapes de calcul même évidentes. Pour notre exemple, nous écrirons :
Calculons :
Or 0 est bien un multiple de 2 donc P(0) est vraie.
Hérédité
L’hérédité est la partie délicate. Nous conseillons alors une phrase claire et complète du type :
Supposons que, pour un rang k, P(k) soit vraie c’est-à-dire que
Partons de notre hypothèse de récurrence :
P(k) : il existe un nombre entier q tel que
(que l’on va substituer dans la ligne de calcul ci-dessous) :
Dans la rédaction de l’hérédité, il est important de bien préciser qu’il s’agit d’un entier k (ou n) particulier, ce qui n’est pas le cas dans la conclusion ! Voici quelques manières acceptables de le formuler :
Pour un rang n…
Pour un entier naturel n fixé…
Et la plus longue que j’ai vue, qui était exigée par un professeur de lycée :
Pour un entier naturel n quelconque fixé…
Peu importe que l’entier s’appelle k ou n. Dans cette page nous avons fait le choix pédagogique de l’appeler k fixé pour mieux le distinguer de la conclusion quel que soit n.
Conclusion
Utiliser la locution « quel que soit » :
Donc quel que soit n entier positif,
Ou encore :
Donc quel que soit n entier positif, P(n) est vraie.
Cours de maths en vidéo : démontrer par récurrence qu’une suite est croissante
La vidéo ci-dessous montre un exemple de raisonnement par récurrence, qui permet de démontrer qu’une suite est croissante. Ce type de démonstration est plutôt simple mais très efficace. Nous avons en effet choisi de montrer un exemple simple pour bien mettre en avant la rédaction de ce type de raisonnement, plutôt que de nombreuses étapes de calcul.
Des questions ? Remarques ? N’hésite pas à les poster en commentaires !
