Le cercle trigonométrique est une notion fondamentale de la spécialité mathématiques dès la classe de première.
L’apprentissage de la trigonométrie se poursuit en terminale :
- en spécialité mathématiques : pour l’étude des fonctions trigonométriques et la résolution d’équations et d’inéquations
- éventuellement en option mathématiques expertes : pour l’écriture trigonométrique et exponentielle des nombres complexes.
La maîtrise de ces notions passe par une parfaite connaissance des angles remarquables et de leurs cosinus et sinus respectifs.
Prenons le temps de bien comprendre la construction du cercle trigonométrique avant d’apprendre à le mémoriser efficacement.
Sommaire
Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?
Ci-dessous le cercle orienté et son repère orthonormé :
Des angles orientés en radians
A présent visualisons des angles qui ont pour sommet le centre du cercle (ou l’origine du repère) et dont un des côtés est confondu avec l’axe des abscisses. Par exemple ci-dessous est représenté en rouge un de ces angles dont la valeur est x :
Comme l’indique la flèche, ces angles sont orientés, c’est à dire qu’ils peuvent donc être positifs ou négatifs : positifs lorsqu’en partant toujours de l’axe des abscisses l’angle tourne dans le sens direct, négatifs quand ils sont dirigés dans le sens indirect.
Comme le cercle a pour rayon 1, son périmètre vaut 2\pi.
Un angle en radians correspond à la longueur de l’arc de cercle sur le cercle trigonométrique.
Ainsi l’angle qui fait le tour complet (360°) vaut 2\pi radians.
A ce sujet, mon autre cours sur le cercle trigonométrique : modulo 2π et mesure principale d’un angle orienté.
Comprendre le cercle trigonométrique en vidéo
La vidéo ci-dessous explique l’emplacement des angles remarquables et les valeurs de leurs cosinus et sinus respectifs.
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Les angles remarquables
Comme le tour complet du cercle vaut 2π radians, un demi-tour de cercle vaudra π radians et un quart de tour, \frac{\pi}{2} radians.
Les quarts de tours sont coupés en 2 angles égaux pour obtenir les mesures \frac{\pi}{4} et \frac{3\pi}{4}, puis en 3 angles égaux pour obtenir les mesures \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} et \frac{5\pi}{6}.
Avec ces angles remarquables, nous obtenons le cercle trigonométrique ainsi gradué :
Il est important de connaître par cœur la position de ces angles remarquables sur le cercle trigonométrique.
Cosinus et sinus d’un angle
Un angle x en radians permet donc de placer un point M sur le cercle trigonométrique. Dans le repère orthonormé, ce point M a une abscisse et une ordonnée qui sont respectivement le cosinus de l’angle x (cos x) et son sinus (sin x).
Après avoir appris la position des angles remarquables, il faut également mémoriser les valeurs des cosinus et des sinus correspondants. Les seules valeurs à retenir sont 0, \frac12, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2} et 1.
5 valeurs seulement car plusieurs angles ont les mêmes valeurs de cosinus ou de sinus. Je les donne à lire directement sur le cercle trigonométrique : c’est ainsi la meilleure façon de les retenir, en se représentant le cercle dans la tête ou en le redessinant sur un brouillon.
Le cercle trigonométrique en une image
Les lignes vertes indiquent les angles qui ont le même cosinus ou sinus. Attention à ne pas confondre les valeurs des angles avec celles des cosinus et sinus.
Comment apprendre le cercle trigonométrique ?
Mon enseignement de la trigonométrie commence par l’exigence d’une parfaite connaissance des angles remarquables et de leurs cosinus et sinus respectifs. Néanmoins cette connaissance est souvent source de difficulté pour les élèves de première ou de terminale.
J’attends parfois des élèves qu’ils apprennent par cœur des formules sans se poser de questions car le plus important est de simplement les appliquer. Mais dans le cas présent, la construction du cercle et sa compréhension sont nécessaires à son apprentissage.
C’est pourquoi je demande à mes élèves d’apprendre le cercle trigonométrique pendant notre cours en ma présence. Entre le début de mon explication et l’interrogation écrite finale que je leur propose, cela nous prend environ une heure.
Pour vérifier que toi aussi tu as bien assimilé la totalité du cercle, tu peux télécharger la fiche d’exercices :
Puis envoie-moi une photo de ton travail pour correction.
Il arrive que même en l’ayant bien appris, les lycéens l’oublient en quelques semaines. C’est pourquoi je réitère cet apprentissage à l’occasion des stages de pré-rentrée fin août à Paris. J’aurais peut-être le plaisir de t’y retrouver !
FAQ – Questions fréquentes sur le cercle trigonométrique
Comment retenir le cercle trigonométrique ?
Compte environ une heure pour reconstruire le cercle incluant les angles remarquables et leurs cosinus et sinus respectifs, d’abord d’après un modèle, puis de tête après l’avoir finalement mémorisé.
Quels angles faut-il connaître par cœur ?
Les angles de l’intervalle ]-π;π] :
- les 4 points cardinaux : 0, \frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{2} et \pi
- les multiples de \frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} et \frac{5\pi}{6} ainsi que leurs opposés
- les multiples de \frac{\pi}{4} : \frac{\pi}{4} et \frac{3\pi}{4} ainsi que leurs opposés.
Quelle est la différence entre degrés et radians ?
Il s’agit de deux unités de mesure d’angles qui sont simplement liées par un rapport de proportionnalité : 180° = π rad. On trouve les degrés sur un rapporteur pour mesurer des angles entre 0 et 360°. Les radians sont la mesure des angles orientés qui peuvent être négatifs ou supérieurs à un tour complet.
Le cercle trigonométrique est-il au programme du bac ?
Oui. Tu peux être amené à calculer les cosinus ou sinus d’angles dans les études de fonctions trigonométriques. La connaissance du cercle est également requise pour la résolution d’équations ou d’inéquations trigonométriques.
N’hésite pas à poser toutes tes questions en commentaires !
Fondateur et professeur aux Cours Thierry, j’enseigne les mathématiques depuis 2002. D’abord comme professeur particulier, à présent j’anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.
Merci beaucoup pour la clarté des explications.
Je n’avais jamais compris.
Bien à vous,
Isabelle
Voila qui fait plaisir, merci !
Merci énormément , la vidéo est très bien expliquée . 🙂
Merci beaucoup !
J’ai aimé merci beaucoup !
Merci !
Magnifique. Thank you very much
Merci beaucoup
Merci beaucoup mais est-ce-que je peux avoir ton numéro whatsapp ? merci
Franchement il n’est pas bien difficile à trouver !
Un grand merci pour ce cours, merci d’avoir laisser la possibilité du copier-coller.
Ce cours m’a vraiment aidé, merci beaucoup.
Avec plaisir !
Merci beaucoup de nous avoir expliqué le cercle trigonométrique ainsi, je n’aurai plus les difficultés pour trouver les valeurs de cos et sin.
Avec grand plaisir !
A ce beau travail, on pourrait ajouter l’histoire des coordonnées polaires et cartésiennes (lien avec les carte maritimes aux pôles et à l’équateur …)
Il est quand même regrettable de ne voir ces explications que bien après avoir subit la fonction cosinus, puis sinus. L’histoire et le cercle donnent du sens à tout ça.
Ce n’est que mon avis.
Merci de votre avis gratifiant. Qui est curieux apprendra à tout âge !
Médecin adorant les maths, je passe toutes mes heures libres à résoudre des problèmes d’algèbre ou de géométrie. Le cercle trigonométrique est passionnant. Merci pour ces rappels simples et précis pour la compréhension de ce cercle magnifiquement décoré de ses chiffres et surtout de son sens.
Le raisonnement mathématique que j’accorde à mon approche diagnostique est fondamental pour moi. Tout est d’abord mathématique.
Merci !
Merci Faycal. En effet les mathématiques offrent un bel outil de structuration du raisonnement !