Qu’est-ce que la preuve par 9 ?
La preuve par 9 permet de vérifier un calcul mental, ou effectué à la main. Si la preuve par 9 est vérifiée, cela signifie que le résultat de l’opération est probablement exact. Par contre si la preuve par 9 n’est pas vérifiée, on peut alors être sûr que le résultat est erroné.
Cette propriété peut être utilisée pour les 4 opérations. Je me souviens avoir appris à l’école primaire à l’utiliser : cela demande du temps, tant pour son apprentissage que pour son usage. De nos jours, la preuve par 9 n’est plus enseignée à l’école primaire et est devenue davantage une curiosité qu’un moyen utile de vérifier ses calculs.
Comment fonctionne la preuve par 9 ?
Une opération entre deux nombres donne un résultat. La même opération entre les sommes des chiffres de chacun des nombres donne la somme des chiffres du résultat. Dans la vidéo, un exemple est donné sur une multiplication, ainsi que sur une division. Voyons ici un exemple sur l’addition :
133 + 17 = 150
La somme des chiffres de 133 est 1 + 3 + 3 = 7.
La somme des chiffres de 17 est 1 + 7 = 8.
Effectuons la somme : 7 + 8 = 15 et 1 + 5 = 6.
La somme des chiffres de 150 est 1 + 5 + 0 = 6.
Dans les deux cas, nous avons trouvé la même somme : 6. Nous pouvons donc estimer que notre résultat est juste. Si les sommes sont différentes, cela signifie que notre résultat initial est faux.
Vidéo explicative
Pour comprendre rapidement, voici une courte vidéo expliquant la preuve par 9 à l’aide d’exemples sur une addition, une multiplication et une division :
Pour progresser en mathématiques
La preuve par 9 est dorénavant une curiosité mathématique, mais les programmes scolaires actuels exigent bien d’autres compétences. Pour renforcer ses bases ou se perfectionner en calcul et raisonnement, nos cours et stages de mathématiques permettent de progresser efficacement avec l’aide d’un professeur expérimenté.
Note pour les initiés
Un élève de terminale suivant l’option mathématiques expertes peut démontrer à l’aide des congruences que cette preuve fonctionne pour les 4 opérations. Comme nous comptons en base 10, il faut utiliser le fait que 10 est congru à 1 modulo 9, puis démontrer qu’un nombre est toujours congru à la somme de ses chiffres modulo 9… N’hésitez pas à poser vos questions en commentaires !
