Cours de mathématiques : apprendre à développer au collège

Nous souhaitons dans cet article, aider les collégiens – notamment en quatrième – à bien comprendre les développements, et les aider à les effectuer sans erreurs. Attention il faut connaître ses tables de multiplication, sinon il faudra se servir de sa calculatrice.

Cet article offre un aperçu de la manière dont j’explique les développements aux collégiens à qui j’ai le plaisir d’enseigner dans le cadre de nos cours hebdomadaires ou stages de vacances.

Approche intuitive

Tu as peut-être déjà utilisé la technique du développement sans le savoir, en faisant du calcul mental.

Par exemple pour calculer 52×11, tu as peut-être effectué dans ta tête 52×10+52.
Ou bien pour calculer 52×9, peut-être as-tu fait 52×10-52.

Si on formalise un peu plus, tu as dans ta tête fait ceci :
52×11 = 52×(10+1) = 52×10+52×1 = 520+52 = 572
52×9 = 52×(10-1) = 52×10-52×1 = 520-52=468
On peut étendre la technique, ainsi :
52×12 = 52×(10+2) = 52×10+52×2 = 520+104=624

La partie écrite en rouge constitue la technique du développement proprement dite. En la généralisant, on obtient la formule du développement qu’il faut absolument connaître par cœur :
k(a+b) = ka+kb

Il existe une autre formule avec le signe moins : k(a-b) = ka-kb.
Mais nous recommandons de n’en apprendre qu’une seule et, en complément, d’apprendre à gérer les signes !

La formule

Je réécris ici la formule du développement. Apprend-la par cœur car c’est la clé de toute la suite :

k(a+b) = ka+kb

Il faut que tu apprennes cette formule en faisant bien attention de ne pas confondre les emplacements des « fois » et ceux des « plus » :

k×(a+b) = k×a+k×b

L’explication par l’exemple

Développer 2(3x+5) :
Le k de la formule a été remplacé par 2, le a par 3x et le b par 5. Et en faisant exactement ce que dit de faire la formule, tu obtiens :
2(3x+5) = 2×3x+2×5 = 6x+10

Un autre exemple :
5(4x+1) = 5×4x+5×1 = 20x+5

Et pour ceux qui sont déjà prêts à aller plus vite :
7(2x+9) = 14x+63

Ce n’est pas si difficile en fait, surtout si tous les nombres sont positifs ! Mais comment fait-on si les signes changent ? Comment développe-t-on par exemple :
3(-2x+9)
ou encore :
-5(4x-7).

Réponse : nous allons devoir suivre la règle des signes de la multiplication.

Règles des signes

C’est la règle la plus connue des élèves :
+ fois + = +
+ fois – = –
– fois + = +
– fois – = –

Réfléchir en 2 temps

Pour effectuer les développements, il faut donc suivre 2 règles conjointement :
• la formule du développement : k(a+b) = ka+kb
• la règle des signes.

Je conseille donc toujours aux élèves de réfléchir en deux temps :

  1. d’abord au signe
  2. ensuite à multiplication.

Exemple 1

Reprenons nos exemples. Développer :
3(-2x+9)
Pour une meilleure compréhension, je réécris cette expression avec les signes + et – :
+3(2x+9)

1er temps, le signe

La première multiplication +3 fois 2x nous permet d’obtenir le signe que tu écris avant de poursuivre :
+3(2x+9) =

2ème temps, le produit

Le problème du signe étant réglé, tu peux à présent écrire la multiplication sans se soucier des signes des facteurs :
3(-2x+9) = –3×2x
Maintenant tu vas pouvoir s’occuper maintenant de la seconde multiplication, encore en 2 temps :

1er temps, le signe

La seconde multiplication +3 fois +9 nous permet d’obtenir le signe + :
+3(-2x+9) = -3×2x +

2ème temps, le produit

Puis tu écris la multiplication sans plus t’occuper des signes :
+3(-2x+9) = -3×2x + 3×9

Finalement

Tu n’as plus qu’à calculer les produits, cela fait en résumé :
3(-2x+9) = -3×2x+3×7 = -6x+27

Exemple 2

Développer -5(4x-7) :

1er temps, le signe
5(+4x-7) =
2ème temps, le produit
5(+4x-7) = – 5×4x
1er temps, le signe
5(4x7) = – 5×4x +
2ème temps, le produit
5(+4x-7) = – 5×4x + 5×7
Finalement
-5(4x-7) = -5×4x+5×7 = -20x+35

Maintenant entraîne-toi !

Relie les expressions égales :
1) -3(2x+5)
2) 5(-x+10)
3) 2(3x-6)
4) -4(3-5x)
avec
a) 6x-12
b) -5x+50
c) -12+20x
d) -6x-15
Réponses : 1d 2b 3a 4c.

Avec des carrés

Comme on a coutume d’écrire que x×x=x², on utilisera aussi cette notation dans les développements. Et on conserve le mode de réflexion en deux temps.

Par exemple, développer -2x(4x-3) :
-2x(4x-3)=-2x×4x+2x×3=-8x²+6x

Entraîne-toi avec des carrés !

Relie les expressions égales :
1) 5x(2x-7)
2) -3x(-4x+1)
3) x(-9-2x)
4) -2x(6x-11)
avec
a) 12x²-3x
b) -12x²+22x
c) -9x-2x²
d) 10x²-35x
Réponses : 1d 2a 3c 4b.

La double distributivité

La double distributivité consiste à développer des expressions du type (ax+b)(cx+d). Par exemple, développer : (2x-5)(4x+1).

Le principe reste le même, il faut multiplier des termes entre eux. Il y a 4 multiplications à faire, comment indiqué par les flèches rouges dans la figure ci-dessous :

double distributivité

Il faut multiplier les termes en suivant les flèches et, comme expliqué plus haut, bien veiller à réfléchir en deux temps :
1. appliquer la règle des signes.
2. effectuer les multiplications.
Et il y aura une étape supplémentaire :
3. réduire.
Comme ça :
(2x-5)(4x+1)=+2x×4x+2×15×4x5×1 (étape 1 : règle des signes)
=8x²+2x-20x-5 (étape 2 : les multiplications)
=8x²-18x-5 (on rassemble 2x-20x pour réduire)

Un autre exemple :
(-5x+2)(6x+3)=5x×6x5x×3+2×6x+2×3 (étape 1)
=-30x²-15x+12x+6 (étape 2)
=-30x²-3x+6 (étape 3 : on a réduit -15x+12x).

Le résumé en une vidéo

Je résume tout ce qui a été dit dans la vidéo ci-dessous. J’espère que tu as bien compris maintenant comment développer ! Sinon n’hésite-pas à poser tes questions en commentaire.

Et si cela te plaît et te semble utile, et que tu n’es pas trop loin de Paris, tu peux venir profiter de nos cours, tout au long de l’année scolaire ou pendant les vacances !

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Thierry
Fondateur, professeur de mathématiques aux Cours Thierry
Fondateur des Cours Thierry, j'enseigne les mathématiques depuis 2002. D'abord comme professeur particulier, à présent j'anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.

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